最近看了李永乐老师的视频，讲如何 2 个或 3 个公平地分蛋糕，2 人其实很简单，一个人切 1 刀另一个选就完了，3 个人就会比较复杂，这题建议有娃的父母都掌握，因为国家现在开放三胎了，将来生日聚会用得上（狗头）。这个复杂的分法实际我早在 matrix67 大牛blog 就看过，不过也忘得差不多了，在此也回顾下。

split cake

假设

首先我们还是要明确一些假设，蛋糕是任意可分的，虽然可以是不同形状，还是假设是长条比较方便，各人认为每段蛋糕价值（效用）可以不同，比如 A 按面积平分成两份，B 认为左边有草莓所以更好（\(>\frac{1}{2}\)），对A两边都是 \(\frac{1}{2}\)，俩人都不觉得吃亏（甚至 B 觉得自己占了便宜）。并且各人要诚实，真实表达自己想法。还有效用函数应该随着面积单调递增，谁会拒绝一份更大的蛋糕呢？每人都倾向于确定，比如不存在一个人故意切大小不均，去赌另一个人会选择自己认为小的那块，而将大块留给自己。

移动刀法

回到 3 人分蛋糕，这个分法叫移动刀法，由 A 拿刀从左到右平移（假设蛋糕是个长条可以一刀切成左右两段），3 人可以在达到自己满意的程度喊停，在这里切下去，剩下两人一人切一人选就可以。在第一刀时假设 A 拿刀，分别考察 AB 的情况，AC 情况类似，如果 A 已经满足了，那 A 应该喊停，否则，剩下的部分肯定对A小于\(\frac{2}{3}\)，A 能拿多拿少还不一定，对于确定的\(\frac{1}{3}\)，按前面的假设，A 会偏向于确定，因此 A 先满足就会先喊停。B 也是同理，看起来和谁拿刀没什么关系，最先满足自己\(\frac{1}{3}\)期望的先喊就可以了。

上面的分法看起来是公平的，但细究的话也有破绽，这种分法可能让人产生嫉妒，比如 A 先喊，然后 B 和 C 一人切一人选，这时对 BC 来说俩人是平分的，并且他们也不认为A的那块比他们的好（否则他们应该先喊），但 A 可能认为 C 的好，你看你让我满足\(\frac{1}{3}\)时就喊，但 C 的那块有草莓，我爱吃草莓，这块的价值对我有\(\frac{1}{2}\)，凭什么 C 拿的（在我看来）比我多，这虽然公平，但会引起嫉妒。那有没有无嫉妒公平的分法呢？

三人无嫉妒公平的解

首先由 A 先将蛋糕按他的理解平分成三份，每份都是\(\frac{1}{3}\)，假设 3 块蛋糕分别叫x,y,z，然后由 B 和 C 分别选，这里分 2 种情况：（1）如果 BC 选的不同，皆大欢喜，A 拿剩下的\(\frac{1}{3}\)，没人觉得不公平，也没人嫉妒 （2）BC 选的相同，比如都选了z（也许是有草莓），BC 的一人（比如 B）这时将选的这块 z 切下一小块（带草莓这块切下来）叫 Δz，剩下的叫 z’，对 B 来说 Δz 应该是 \(3z-\frac{1}{2}\)（后面会有证明），问 C 还要不要，再分 2 种情况：（2-1）C 要了 z’，那 B 就从剩下前 2 块选 1 块，A 选剩下的一块，假设C选了 z‘，B选了y，A选了x，这时只有A满意了，但B可能不满意（可能x,y都\(≤\frac{1}{3}\)），C也未必满意（可能z’不满\(\frac{1}{3}\)但已经是最大的），这时由 B 来将 Δz 分成 3 份，按 CAB 的顺序依次选取，因为对 B 来说 \(x≤y≤z'+Δz\)，那 \(Δz≥(1-3x)\)，那么 B 拿到的 \(y+\frac{Δz}{3}≥x+\frac{1-3x}{3}≥\frac{1}{3}\)，中间这部分是根据 x≤y和前面 Δz 直接替换得到的，对 C 也可以应用同样的证明，A 不用说更高兴了，所有人都满足了（2-2）C 觉得 z’ 小了，因此选了 y，这里规定如果发生这种情况，B 必须选自己切的这个 z’，可以把切 z 的行为理解为 B 的自损，如果 C 不接受这个损失，那必须由 B 来承担。然后由 C 来分 Δz，按 BAC 的顺序依次选取，这样大家又平衡了。

B如何来切Δz

假设 x≤y，当 B 需要切 z 时，他可能面临 z’ 和 y 较小者再 \(+\frac{Δz}{3}\) 的局面，但他要至少保证拿到\(z'+\frac{Δz}{3}≥\frac{1}{3}\)，由 \(z'+Δz=z\) 可得 \(Δz≥\frac{3z-1}{2}\)。这里可以从反面验证这个结论，如果 B 不这么切，有可能导致 B 拿到的少，比如设 x=y=\(\frac{1}{8}\) ，则 z=\(\frac{3}{4}\)，B 没有按照 \(Δz≥\frac{3z-1}{2}=\frac{5}{8}\) 去切，而是切了 \(Δz=\frac{1}{8}\)，这时 C 如果选了 z’，那 B 无论拿 x 还是 y，即使拿全部的 Δz，得到的都是 \(\frac{1}{8}+\frac{1}{8}=\frac{1}{4}<\frac{1}{3}\)，所以 B 需要按照一定规则切 Δz 才能不吃亏。实际为了做到不嫉妒，每人都应该按等号来取，这样才能保证别人不可能比自己多，于是大家最终都拿到「自己认为」的 \(\frac{1}{3}\)。